看MIT算法导论视频真是收获不蜚，今天学会了求Fibonacci数最快的方法～
Fibonacci（斐波那契）数列小学生都知道的，求Fibonacci数也不是什么难事，可以用递推式一步一步推(线性)。有没有更快的方法呢，你可能马上就想到了通项公式:
这个公式要算一个数的n次方，由于一个数的n次方可以由一个分治算法在logn时间内得到：
所以这个算法时间复杂度是O(logn)的。推导没有错误，但是忽略了一个问题：精度。无理数只能近似表示，所以无理数的乘方是有误差的，而且误差越乘越大，所以需要足够多的有效位数才能保证最后的答案是正确的。由于是取最近的整数，只要误差超过0.5，结果就会出错。如果n很大，比如说1亿，这个算法就得几乎不可到正确结果。而下面的算法则避开了这个问题。
设Fibonacci数列的第n个数是Fn，则有：
好吧，一个2*2的matrix就解决问题，真是精妙的算法。这个公式可以轻松的用数学归纳法验证。由于计算过程中都是整数，所以不会出现精度问题。两个2＊2的矩阵相乘复杂度O(1)，矩阵的乘方也可用上面的分治算法求得，所以 T(n) ＝ T(n/2) + O(1)，由主定理解得 T(n) = O(logn)。
MIT的算法导论课程视频和讲义VeryCD上有：Click me. 主讲老师就是《算法导论》的主要作者之一：Charles E. Leiseson (中文版封底上有他的照片)，讲得非常好，通俗易懂，还可以顺带练习英语听力～～强烈推荐
2 Responses to Fibonacci数的巧妙求法